Claudius Kamp erhielt seinen ersten Musikunterricht im Alter von vier Jahren. Der gebürtige Aalener studierte 2008-2013 zunächst Blockflöte an der Hochschule für Musik „Franz Liszt“ Weimar bei Prof. Myriam Eichberger. Für sein Diplomkonzert wurde Claudius mit Bestnote (1.0) ausgezeichnet. 2013 folgte das Studium historischer Fagottinstrumente (Dulzian, Barockfagott und klassisches Fagott) bei Christian Beuse an der Hochschule für Künste Bremen, seit 2016 an der Universität der Künste Berlin.
Claudius wurde mit zahlreichen Preisen ausgezeichnet, wie mit dem Publikumspreis und zweiten Preis des internationalen Biagio-Marini-Wettbewerb. Er gewann beim internationalen Moeck/SRP Solo Recorder Playing Competition 2013 in London den dritten Preis. Weitere Auszeichnungen wurden ihm unter anderem bei dem Wettbewerb Jugend musiziert und von der Deutschen Stiftung Musikleben verliehen. Zudem war er Stipendiat der Werner-Richard-Dr.-Carl-Dörken-Stiftung und der Franz-Liszt-Stiftung Weimar.
Wichtige musikalische Impulse erhielt Claudius in MeisterInkursen mit Maurice Steger, Alfredo Bernardini, Paul Leenhouts, Alberto Grazzi, Lars Ulrik Mortensen, Margaret Faultless, Rainer Johannsen, Daniel Koschitsky und weiteren SpezialistInnen für Alte Musik. Mit namhaften KünstlerInnen wie Reinhard Goebel, Nuria Rial, Andreas Scholl, Andres Gabetta, Samy Deluxe, Valer Sabadus arbeitete er bereits zusammen. 2016 gewann Claudius einen Platz als Fagottist beim European Union Baroque Orchestra und war in der Saison 2016/17 mit dem Orchester in Europa zu hören.
Mit seinen Auftritten begeistert Claudius Kamp weltweit sowohl KlassikkennerInnen als auch ein junges musikinteressiertes Publikum, sei es in kleinen Kirchen, gemütlichen Wohnzimmern oder großen Sälen wie der Kölner Philharmonie oder im Großen Saal des Concertgebouw Amsterdam. Internationale Konzertauftritte führten ihn u.a. nach Israel, Kolumbien, Weißrußland, Luxemburg und Rumänien. Zusammen mit TARS ist Claudius Stidpendiat des Deutschen Musikwettbewerbs 2019.